No.415 ９の掛け算の答えは数字同士を足していくと必ず９になる

この9の倍数の性質は，九去法という名で，古くから知られていました。
このことは次のようにして証明できます。
4桁の自然数N で1000の位の数をa，100の位の数をb，10の位の数をc，1の位の数をd とすると，もとの自然数はN ＝1000a ＋100b ＋10c ＋d となります。
ところで，1000＝9×111＋1，100＝9×11＋1，10＝9×1＋1だから，
　　　N ＝(9×111＋1)a ＋(9×11＋1)b ＋(9×1＋1)c ＋d
　　　　＝9×111×a ＋9×11×b ＋9×1×c ＋(a ＋b ＋c ＋d)
　　　　＝9×(111×a ＋11×b ＋1×c) ＋(a ＋b ＋c ＋d)
9×(111×a ＋11×b ＋1×c) は9の倍数になっているから，a ＋b ＋c ＋d が9の倍数であると，N が9の倍数になることがわかります。

簡単に言うと９×２＝18、１＋８＝９　といった具合に。

（番組評価 82/100へえ）